LA FACTORIZACIÓN
Es una técnica que consiste en la descripción de una
expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un
polinomio, etc.) en forma de producto.
LA RACIONALIZACIÓN de radicales es un proceso en donde se
tiene que eliminar la raíz o raíces que están en el denominador de una
fracción.
Ley
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Descripción y ejemplo
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Potencia de un radical
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La potencia pasa a ser exponente
del radicando y se convierte en fracción, el índice será el denominador y el
exponente el numerados.
(ⁿ√x)ᵐ=ⁿ√xᵐ
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Producto de radicales con un mismo
índice radical
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El índice se conserva y los
radicandos se multiplican.
ⁿ√x.ⁿ√y=ⁿ√x.y
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División de radicales con un mismo
índice radical
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El índice se conserva y los
radicandos se dividen.
ⁿ√x/ⁿ√y=ⁿ√x/y
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Raíz de raíces
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El radicando se conserva y los
índices se multiplican.
ᵐ√ⁿ√x=ᵐ˙ⁿ√x
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La ley de los exponentes no
es más que sumar multiplicar o dividir exponentes, solo necesitamos saber en
que momento tenemos que hacer cada operación. Un exponente se puede definir
como el número que define la cantidad de veces que se tiene qué multiplicar un
factor por sí mismo
Al tener un exponente
negativo debemos aplicar nuestra tercera regla de los exponentes, dividir
nuestros factores por el factor con exponente negativo
Multiplicación de potencias con misma base
Al multiplicar
potencias con la misma base la ley de los exponentes nos dice que tenemos que sumarlo
los exponentes.
Cuando dividimos
potencias donde su base es igual debemos restar los exponentes, al exponente
del numerador restaremos el exponente del denominador.
Suma de funciones
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Dominio
D(f + g) = D f
D g
Propiedades
Asociativa:
f(x) + [g(x) + h(x)] = [f(x) +
g(x)] + h(x)
Conmutativa:
f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
Elemento neutro:
La función constante: f(x) =
0.
Elemento simétrico:
La función opuesta: −f(x).
Resta de funciones
(f − g)(x) = f(x) − g(x)
Dominio
D(f − g) = D f
D g
Producto de funciones
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
Dominio
D(f · g) = D f
D g
Propiedades
Asociativa:
f(x) · [g(x) · h(x)] = [f(x) ·
g(x)] · h(x)
Conmutativa:
f(x) · g(x) = g(x) · f(x)
Elemento neutro:
La función constante: f(x) =
1.
Distributiva:
f(x) · [g(x) + h(x)] = [f(x) ·
g(x)] + [f(x) · h(x)]
División de funciones
(f / g)(x) = f(x) / g(x)
Dominio
D(f + g) =(D f
D g) −
{x
/ g(x) = 0}
Se llama productos notables a ciertas expresiones
algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista;
es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos
especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y
del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada
como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la
segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
POTENCIA DE
POLINOMIO
La potencia
de un polinomio, ( )n P x , es una forma abreviada de escribir
el producto
del polinomio n veces:
Un polinomio
es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an x n + an - 1 x n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... + a1 x 1 + a 0
Siendo an,
an - 1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número
natural.
x la
variable o indeterminada.
ao es el
término independiente.
TANGENTE.
El latín
tangens, el término tangente es un adjetivo que hace referencia a aquello que
toca. El concepto es muy habitual es el ámbito de la geometría, ya que puede
hablarse de la recta tangente y de la tangente de un ángulo. Para la trigonometría,
la tangente de un ángulo es la relación entre los catetos de un triángulo
rectángulo. Puede expresarse como valor numérico a partir de la división entre
la longitud del cateto opuesto y el cateto adyacente del ángulo en cuestión.
Dos o más circunferencias se
consideran tangentes cuando sus centros y la intersección de las
circunferencias, conocida como punto de tangencia, pasan por la misma recta.
VARIABLE:
una
variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado
dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el
conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras
ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable.
Como podrán advertir, las
variables son elementos presentes en fórmulas, proposiciones y algoritmos, las
cuales pueden ser sustituidas o pueden adquirir sin dejar de pertenecer a un
mismo universo, diversos valores
RAZON DE
CAMBIO:
se refiere a la medida en la cual una variable se modifica
con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir
de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas,
tendrán una razón de cambio igual a cero.
La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula
dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir
que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la
distancia y el tiempo.
En general,
en una relación funcional y=f(x), la razón de cambio de la variable dependiente
y respecto a la independiente x se calcula mediante un proceso de límite --de
la razón [f(x+t)−f(x)]/t, denominada cociente diferencial.
TAZA DE
VARIACION:
Consideremos
una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de
abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real
que corresponde al incremento de x (Δx).
Se llama
tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se
representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los
puntos de abscisas a y a+h.
VARIACIÓN
ABSOLUTA
Sea una
variable Y de la que hemos obtenido una serie de observaciones
ordenadas en
el tiempo:
………...………...………...………...………...
Y0 Y1 Y2 ............ Yt-1 Yt Yt+1 ........
Se supone
que estas observaciones se han obtenido en períodos temporales de la
misma
duración (observaciones mensuales, anuales, etc.).
La variación
absoluta que ha experimentado la variable durante el período t
(∆Yt) se
obtiene por diferencia entre el dato registrado en el momento t y el dato en
el momento
inmediato anterior, t-1:
∆Yt = Yt –
Yt-1
Esta
diferencia viene dada en las mismas unidades de medida que la variable. En
cuanto al
signo:
∆Yt > 0 ⇒ evolución creciente de
la variable en el período t
∆Yt < 0 ⇒ evolución decreciente
de la variable en el período t
∆Yt = 0 ⇒ estancamiento de la variable en el período t
∆Yt plantea
problemas a la hora de efectuar comparaciones entre series de
valores de
distintas variables.
VARIACIONES
RELATIVAS: TASAS DE VARIACIÓN
La variación
relativa de la serie en el período t o tasa de variación en el período t es:
1YYYYYYYY
YYY Tt 1tt 1t 1t 1tt 1t t 1t 1tt = − = − − = ∆ =− −−− −−−
Tt viene
dada en tanto por uno. Es habitual expresarla en porcentaje o tanto porciento,
para lo cual se multiplica por 100.
Tt puede ser
positiva, negativa o nula. Si la variable Y sólo toma valores
Positivos,
el signo de Tt está determinado por el signo de ∆Yt.
TEOREMA DE ROLLE
asegura que, en las condiciones del enunciado, existe al menos un punto en el que la tangente a la curva es horizontal.Para ir de a a b, al ser la función continua, o bien va recta (función constante) o, en al menos un punto, tiene que doblar con tangente horizontal por ser derivable.OBSERVACIONESSi no se verifican las condiciones del enunciado, no podemos garantizar la existencia del punto; aunque este punto pueda existir, siempre dependerá de la función de que se trate.
Sea f definida en [a,b], verificando:
1.
f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
2.
f es derivable en el intervalo abierto (a,b).
3.
f(a)
= f(b).
En estas condiciones
existe al menos un punto del interior del intervalo x0 c (a,b) en el que se anula la
derivada primera: f´(x0)
= 0 ; es decir, la recta
tangente a la función en ese punto es horizontal.
F(x)=|x|
TEOREMA DE LAGRANGE o TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL o TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Este teorema expresa la existencia de un punto c de (a,b) tal que la recta tangente en T(c,f(c)) es paralela a la cuerda de extremos A(a,f(a)) y B(b,f(b)), ya que las pendientes respectivas coinciden:
FÓRMULA DE LOS INCREMENTOS FINITOS
Si en el teorema de Lagrange operamos:
Sea f definida en [a,b], verificando:
1.
f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
2.
f es derivable en el intervalo abierto (a,b).
En estas condiciones
existe un punto del interior del intervalo x0 c (a,b) tal que
f(b) - f(a) = f´(c)·(b-a)
Si
hacemos h = b - a entonces b = a + h.
El intervalo será [a,a+h]. cc(a,a+h)
lo expresamos como c = a + 0·h,
siendo 0c(0,1)
conveniente para no salirnos. De esta forma queda:
f(a+h) = f(a) + f´(a+0·h)·h
que
recibe el nombre de fórmula de
los incrementos finitos.
Sea f definida en [a,b] verificando:
a.
f continua en [a,b]
b.
f derivable en (a,b)
c.
Entonces f es estrictamente creciente
(decreciente)
TEOREMA DE CAUCHY (TEOREMA GENERALIZADO
DEL VALOR MEDIO)
Sean f y g definidas en [a,b]
verificando:
a. Son continuas en el
cerrado [a,b]
b. Son derivables en el
abierto (a,b)
Sean f y g derivables en un entorno reducido de a: E*(a,r)
verificando:
1.
y
2.
Existe
